La distanza è uno degli enti geometrici con cui abbiamo a che fare più di frequente nella nostra vita quotidiana, ma è ancora più fondamentale in matematica. Misurare una distanza in termini generali significa riassumere in un’informazione numerica tutte le differenze tra due oggetti. Questo è particolarmente utile in quanto permette di imporre un ordine di vicinanza sulla categoria di oggetti in esame rispetto a un qualsiasi punto. In questo articolo vedremo come questa definizione di distanza possa essere estesa a definire il concetto di vicinanza anche in spazi qualsiasi.

I matematici lavorano con spazi a due dimensioni come i piani, a tre dimensioni come lo spazio percepito ma soprattutto con spazi di dimensione arbitraria che può essere finita o addirittura infinita. In ognuno di questi casi la matematica necessita di definire una nozione di vicinanza tra i punti per studiare le proprietà locali dello spazio. Queste proprietà sono quelle che emergono a livello “microscopico” punto per punto e dipendono solo dal rapporto di un punto con i suoi vicini, a differenza delle proprietà globali che sono proprie dello spazio considerato nella sua interezza.

Trovare una funzione distanza è il modo più intuitivo di definire la vicinanza tra punti. Ad esempio in uno spazio a n dimensioni possiamo verificare che la distanza euclidea estende perfettamente il concetto di distanza intuitivo degli spazi che possiamo immaginare, cioè fino a dimensione 3. Tutti i punti alla stessa distanza da un punto fissato si dispongono su una sfera. In questo caso possiamo considerare che una proprietà locale è soddisfatta in un certo punto x0 se e solo se esiste un raggio ε tale che per tutti i punti contenuti nella sfera di centro x0 e raggio ε, la proprietà vale. Questa definizione è equivalente a richiedere che la proprietà valga per tutti i punti che stanno a distanza (euclidea) minore di ε da x0, espressa in quest’ultima forma risulta chiaro che non è necessario che i punti equidistanti da x0 siano tutti posti su una sfera, l’unica cosa importante è quantificare quale sia la loro distanza da x0.

Questa osservazione è importante perché permette di generalizzare l’idea di distanza a una funzione più generica della particolare distanza euclidea. La forma di questa nuova funzione distanza può fare sì che i punti equidistanti da x0 in uno spazio a n dimensioni siano disposti su un cubo invece che su una sfera o magari su una superficie ancora più particolare.

distanze

Ecco alcuni esempi classici di distanze: la distanza d è la distanza euclidea mentre le altre sono altre possibili distanze del piano reale.

Si può quindi capire che la distanza imposta su uno spazio è l’ente che ne definisce e modifica la forma! Forse può risultare difficile comprendere appieno le possibilità aperte da una nozione generale di distanza in uno spazio di dimensione finita, in cui la distanza euclidea appare la più naturale, ma in matematica esistono anche spazi a infinite dimensioni come gli spazi di funzioni. In questo tipo di spazi non è facile immaginarsi quali siano i punti vicini tra loro, ma in molti casi è possibile definire una distanza che dia forma a questi spazi.

Per lo studio delle proprietà locali di un punto, l’informazione numerica data dalla distanza tra due punti è superflua perché l’interesse del matematico è solo studiare i punti vicini. La distanza oltre a definire la nozione di vicinanza tra punti, la quantifica con un valore numerico. Si può quindi sperare che esista un oggetto matematico capace di cogliere esclusivamente questo concetto generale. In termini meno restrittivi rispetto a prima possiamo definire una proprietà locale come una proprietà verificata da tutto un insieme di punti (sufficientemente) vicini, insieme detto intorno in termini matematici. Ogni distanza permette di definire in modo naturale gli intorni di un punto, ma possiamo spingerci oltre. Dato che solo gli intorni sono importanti per lo studio delle proprietà dello spazio possiamo dare a esso una forma definendo direttamente l’insieme di tutti gli intorni di un punto senza doverli ricavare da una distanza. Questo insieme di intorni di ogni punto definisce la cosiddetta topologia dello spazio.

topologie

Ecco alcuni esempi di topologie: le prime due immagini si riferiscono a topologie indotte da distanze sul piano reale; la terza mostra invece la cosiddetta topologia discreta in cui ogni punto è vicino solo a sé stesso.

Le potenzialità di questa ulteriore generalizzazione risiedono nel fatto che non tutti gli spazi sono metrizzabili, non è cioè sempre possibile trovare una funzione distanza che dia forma allo spazio, ma lo studio di proprietà locali come la convergenza di una successione di punti è così fondamentale che deve essere possibile in ogni genere di spazio.

In conclusione si è presentata con un procedimento tipicamente matematico un’estensione del concetto di distanza euclidea con cui abbiamo a che fare nella vita quotidiana. Continuando ad astrarre si sono isolate le proprietà della distanza euclidea che sono interessanti per un matematico, mostrando come la necessità di definire quali siano i punti vicini a un punto dato porti all’introduzione della nozione di topologia come ente matematico capace di dare forma a uno spazio qualsiasi. Gli spazi metrici, dotati cioè di una distanza, sono un caso particolare di spazi topologici, spazi a cui è stata associata una topologia. Lo studio della topologia permette di dedurre le prime proprietà dello spazio, in più gli spazi dotati di una distanza hanno una topologia di una particolare forma e molte proprietà aggiuntive che facilitano il loro studio.

Abbiamo quindi visto come sia possibile separare in termini matematici il concetto di vicinanza e lontananza dal concetto di distanza: l’identificazione tra queste due idee è così profonda che solo un tale procedimento astratto permette di isolarne le differenze. Possiamo quindi riassumere dicendo che tutte le cose distanti sono lontane, ma non tutte le cose lontane sono distanti!

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