Il concetto di simmetria in fisica ha un ruolo indubbiamente affascinante, come ci mostra il teorema di Noether. Ma prima di addentrarci in questo importante teorema facciamo un passo indietro per capire il contesto in cui si inserisce e chiediamoci più in generale: di cosa si occupa la fisica? Quali possono essere i principi guida in questa disciplina e quale il metodo di indagine?

Per rispondere a questa domanda, mettiamoci nei panni di un piccolo fisico come l’immaginario comune suole rappresentarlo: non pochi si staranno figurando un personaggio un po’ buffo (caratteristica che in svariati anni passati tra le mura di un dipartimento di fisica la mia esperienza diretta non è mai riuscita a smentire), chiuso magari in una stanzetta polverosa a lume di candela a lavorare, tra marchingegni di vario tipo, carrucole, palline e piani inclinati; diamo a questo personaggio il nome fittizio di Galileo.

Che cosa cerca Galileo nelle sue serate a lume di candela? Galileo fa osservazioni dirette, raccoglie dati sperimentali oggettivi e successivamente li rielabora per costruire leggi fisiche. Galileo cerca delle regolarità nei dati che ha raccolto, cerca di metterli in relazione tra loro in modo che i semplici numeri degli esperimenti facciano emergere una struttura più profonda della realtà. Il metodo scientifico introdotto da Galileo rappresenta un passo in avanti rispetto al modo precedente di fare scienza, in cui i dati e gli esperimenti diventano centrali per conoscere la realtà. Tuttavia non dobbiamo dimenticare che Galileo sta ugualmente facendo delle assunzioni ontologiche: sta assumendo che la natura sia descritta da leggi generali esprimibili mediante il linguaggio matematico.

Questa breve storia mette in evidenza come la ricerca di regolarità nel descrivere il mondo che ci circonda sia sempre stata alla base del metodo di indagine della fisica. In effetti, l’idea che ci sia un certo ordine nascosto, profondo ed elegante, di cui i fenomeni sono manifestazione, non ha mai abbandonato i fisici, dai tempi delle palline e dei piani inclinati di Galileo alle più controintuitive frontiere della fisica teorica odierna. Tuttavia nel corso dei secoli il metodo è cambiato e si sono formate due diverse categorie di fisici: gli sperimentali, che raccolgono moli enormi di dati con abilità tecnica sempre crescente, per confermare teorie oppure scoprire nuovi fenomeni che forniscano nuovi input, e i teorici, che elaborano con carta e penna modelli della realtà.

Un tratto costante, che accomuna il metodo di indagine di Galileo a quello odierno, è proprio la costruzione di modelli matematici. Potremmo dire, riprendendo la massima di galileiana memoria secondo cui la natura è un libro scritto con il linguaggio della matematica, che la fisica tenta di dare una descrizione dei fenomeni che ci circondano mediante modelli basati sul linguaggio matematico. Si tratta appunto di modelli, non di verità assolute. Un modello in quanto tale non è una mera riproduzione fedele della realtà, non è semplicemente descrittivo bensì tenta di essere esplicativo e avere un carattere predittivo. Ovvero un modello non si limita a un tentativo di descrivere la realtà dando una riorganizzazione matematica delle conoscenze, bensì cerca di mettere in luce meccanismi causa-effetto che possano allo stesso tempo fornire una spiegazione dei fenomeni noti e predirne di nuovi. Per fare ciò ci si concentra su alcuni aspetti e se ne trascurano altri per poter astrarre, dando un’interpretazione della realtà elaborata sulla base dei principi guida della fisica.

In particolare, un principio guida strettamente legato al più generico concetto di regolarità è quello di simmetria, che vorremmo qui analizzare nella veste espressa nel 1915 dalla fisica e matematica tedesca Emmy Noether nell’omonimo teorema.

Per cominciare definiamo in maniera del tutto generale sistema fisico l’insieme di oggetti (e relazioni tra essi) che rappresentano la porzione della realtà fisica che ci interessa investigare. Tale sistema è caratterizzato da una serie di quantità che cambiano nel tempo, riferite ai vari corpi che lo compongono, dette variabili dinamiche. Per esempio possiamo considerare le posizioni e le velocità dei corpi, o meglio, al posto delle velocità, gli impulsi, ottenibili come prodotto di massa e velocità di ciascun corpo. Le equazioni del moto sono particolari relazioni che danno la legge di evoluzione nel tempo di queste coordinate fisiche. Se siamo in grado di scrivere le equazioni del moto e di risolverle, sappiamo tutto del nostro sistema.

La parte più interessante nello studio di un sistema fisico è cercare quali sono le quantità conservate, ovvero quelle quantità (variabili dinamiche o funzioni di esse) che rimangono invariate nel tempo mentre tutto il resto evolve: risulta evidente che tali quantità devono avere qualcosa di speciale. Le prime leggi di conservazione emerse empiricamente per un sistema isolato (ovvero soggetto a forze esterne la cui somma è nulla) sono quelle relative all’energia, all’impulso e al momento angolare totali, ma per scoprire le cause profonde di ciò bisogna fare un salto concettuale.

Se le variabili dinamiche di cui sopra sono in generale funzioni della coordinata temporale, allora possiamo definire una trasformazione di simmetria, o più semplicemente simmetria, come una trasformazione delle variabili dinamiche che lascia invariate le equazioni del moto. Trasformazione è un termine matematico con cui indichiamo una funzione che associa a ogni coordinata un valore univoco (detto coordinata trasformata). Per esempio, una traslazione spaziale di una certa quantità a associa a ogni coordinata x, che esprime la posizione di un corpo, il valore x+a: è un modo matematico per esprimere il concetto intuitivo di prendere l’intero sistema e spostarlo più in là di una certa quantità a. Se in seguito a questa operazione le leggi del moto non sono cambiate, diremo che il sistema è invariante per traslazioni spaziali, ovvero che presenta una simmetria per questo tipo di trasformazioni. Altri esempi tipici di trasformazioni sono le traslazioni temporali (che equivalgono a considerare il sistema a un istante t+a invece che all’istante t), o le rotazioni. Possiamo notare che le trasformazioni che abbiamo considerato dipendono da un parametro (a nel nostro caso); in generale possono dipendere anche da più parametri, e la branca della matematica che fornisce un linguaggio adeguato per descriverle è la teoria dei gruppi.

Siamo ora pronti per capire perché il teorema di Noether è di cruciale importanza: esso stabilisce un legame tra i concetti appena definiti di simmetria e di grandezze conservate, affermando che se un sistema presenta una simmetria per un certo gruppo di trasformazioni, ad ogni parametro di tale gruppo corrisponde una grandezza conservata. Considerando l’eleganza del concetto matematico di simmetria e il fatto che le quantità conservate sono decisamente rilevanti per un sistema fisico, stabilire un legame formale e matematico tra questi due aspetti rappresenta un risultato teorico davvero notevole, che ci fa capire la portata di questo teorema, la cui dimostrazione matematica è qui tralasciata per motivi di spazio.

Per rendercene conto vediamo nello specifico alcune implicazioni di questo teorema: come anticipato esso fornisce una ragione più profonda alle leggi di conservazione emerse empiricamente, riconducendole a proprietà di simmetria. La ben nota conservazione dell’energia discende per il teorema di Noether dalla simmetria per traslazioni temporali, ovvero è manifestazione del fatto che considerare un sistema a istanti temporali diversi non ne modifica le proprietà. In poche parole, se effettuo un esperimento oggi oppure domani, l’esito dell’esperimento non sarà influenzato dal giorno in cui l’ho effettuato; ci si riferisce a questa proprietà come omogeneità del tempo, per indicare proprio il fatto che il tempo è un qualcosa di omogeneo, cioè tutti gli istanti sono uguali tra loro. Analogamente, la conservazione dell’impulso è per il teorema di Noether conseguenza della simmetria per traslazioni spaziali, ovvero del fatto intuitivamente banale che se effettuo un esperimento in un certo punto dello spazio o 10 metri più in là, l’esito non cambia: anche lo spazio, come il tempo, è omogeneo, ovvero tutti i punti sono uguali, non ce ne sono di privilegiati.

La conservazione del momento angolare è invece conseguenza della simmetria per rotazioni spaziali, che esprime il fatto che lo spazio è uguale in tutte le direzioni, ovvero isotropo: banalmente, l’esito di un esperimento non cambia se vado da destra verso sinistra o da sinistra verso destra.

È qui necessaria una precisazione per non essere tratti in inganno dalla terminologia: chiaramente effettuare un esperimento in cima all’Everest porterà risultati numerici diversi dallo stesso esperimento effettuato in Pianura Padana, perché sono diverse le condizioni di pressione atmosferica e accelerazione gravitazionale, giusto per citare un paio di differenze. Ciò che si intende dicendo che l’esperimento non dipende dal punto dello spazio è che se determiniamo il legame tra grandezze fisiche sull’Everest (tenendo conto delle condizioni di pressione atmosferica, accelerazione gravitazionale e via dicendo del monte Everest), la legge fisica che otteniamo ha la stessa forma della legge fisica che otterremmo in Pianura Padana, sostituendo ai parametri dell’Everest quelli della Pianura Padana: possono cambiare i valori numerici, che esprimono le condizioni del sistema, ma non cambia la relazione funzionale tra le grandezze, ovvero la legge che governa il sistema, che è il vero contenuto fisico.

Un sistema può presentare anche simmetrie cosiddette interne, ovvero che non dipendono da una legge di trasformazione delle coordinate spazio-temporali ma solo delle variabili dinamiche. Per esempio, in meccanica quantistica la variabile dinamica che descrive lo stato del sistema sarà un oggetto chiamato funzione d’onda, che altro non è che una funzione delle coordinate spaziali e della coordinata temporale. Se facendo una trasformazione di fase, che equivale a modificare la fase dell’onda (agendo quindi direttamente sulla funzione d’onda e non sui suoi argomenti), le equazioni del moto rimangono invariate, allora diremo che il sistema presenta una simmetria per trasformazioni di fase. Tramite il teorema di Noether da questa simmetria discende la conservazione di una quantità che si è scoperto essere la carica elettrica.

Risulta quindi evidente la potenza del teorema di Noether nel predire le quantità conservate in un sistema a partire da considerazioni di simmetria, e cominciamo a intuire perché esso sia andato ben oltre il 1915 e sia attualmente alla base della fisica teorica. Uno dei metodi di indagine della fisica teorica consiste nell’assumere la presenza di determinate simmetrie in base a considerazioni di carattere teorico, e verificare a posteriori se tale assunzione sia giustificata, in base anche alla conservazione delle quantità che discendono dal teorema di Noether. Vediamo quindi che, parallelamente al metodo scientifico di Galileo, si può procedere anche in maniera esattamente opposta, elevando la presenza di simmetrie al rango di ipotesi prima che di osservazione sperimentale.
Infine, vale la pena specificare che ci siamo qui concentrati sulla presenza di simmetrie, ma un ruolo altrettanto importante è giocato da fenomeni cosiddetti di rottura spontanea di simmetria… Ma questa è un’altra storia!

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