I filosofi scolastici s’interrogavano sul paradosso dell’asino di Buridano, che, messo davanti a due mucchi di fieno perfettamente equidistanti, si sarebbe dovuto lasciar morire di fame non avendo alcun motivo per scegliere l’uno invece che l’altro.

Sappiamo bene che, se svolgessimo l’esperimento in una vera stalla, l’asino, sotto le stesse condizioni, finirà per dirigersi verso uno dei due mucchi, rompendo quindi la rigida simmetria delle condizioni iniziali. Il motivo è che la condizione di equilibrio in cui l’asino si trova inizialmente è instabile: qualunque piccola modifica delle condizioni finirà per far assumere all’asino una decisione.

Fenomeni analoghi sono assai comuni in fisica: si parla di rottura spontanea di simmetria.

Tutti abbiamo presente la solidificazione dell’acqua in ghiaccio. Prendiamo un contenitore pieno d’acqua: esso apparirà uguale da qualunque parte lo si guardi, e abbiamo una simmetria per rotazione. Considerando invece la struttura cristallina (cubica) del ghiaccio, solo rotazioni di multipli di 90° trasformeranno il cristallo in se stesso. Prima si potevano fare infinite trasformazioni che lasciavano invariato il sistema, ora solo quattro. Se definiamo “simmetrie” le trasformazioni con tale proprietà, possiamo dire che il ghiaccio è più ordinato, ma meno simmetrico dell’acqua liquida. Forse è un po’ controintuitivo, ma il disordine è più simmetrico dell’ordine!

È noto che il passaggio da acqua a ghiaccio avviene, a pressione atmosferica, a 0 °C, o 273 K come preferiscono i fisici.

In generale, lo stato in cui si trovano i sistemi si modifica in base alla variazione dei parametri che lo caratterizzano, tra cui la temperatura.

Abbiamo quindi una temperatura critica T* in cui il grado di simmetria del sistema cambia, ovvero si passa da una fase disordinata a una ordinata.

Il fatto interessante, tuttavia, è che il sistema finisce per assumere uno stato che definiremmo asimmetrico mentre l’espressione che ne regola l’evoluzione (ovvero l’energia) rimane perfettamente simmetrica. In altre parole, la simmetria delle interazioni del sistema è superiore a quella dello stato del sistema nella fase ordinata.

Un esempio chiarirà le idee. Prendiamo un’energia V nella forma

V(x) = tx^2 + x^4

dove t dipende dalla temperatura (è maggiore di zero se ci troviamo sopra la temperatura critica e negativo nel caso contrario) e x è un parametro detto “d’ordine”, proprio perché misura il grado di ordinamento del sistema, e quindi quello di violazione della simmetria.

Possiamo disegnare il grafico della funzione V(x). Ora, se t>0, l’energia è quella in fig. 1.

Possiamo interpretare il grafico dell’energia nella seguente maniera: immaginiamo che la funzione rappresenti il profilo altimetrico di un terreno. Una pallina, ovunque si trovi, finirà per cadere sul fondo della buca, ovvero sul punto di equilibrio, in questo caso, in x=0.

Fig. 1. Grafico di V(x)=tx^2+x^4 per t>0

Invece, se t<0, la situazione è quella di fig. 2. Appaiono due possibili punti di equilibrio, simmetrici rispetto allo zero. Il punto di equilibrio precedente diventa ora un punto instabile. Una pallina che vi si trovasse non vi rimarrà indefinitamente, come l’asino di Buridano. Una minima perturbazione del sistema la farà finire in una delle due buche, dove il parametro d’ordine x è diverso da zero.

Fig. 2. Fig. 1. Grafico di V(x)=tx^2+x^4 per t<0

Immaginiamo di abbassare la temperatura. All’inizio siamo nel caso (1) e il sistema si trova nell’equilibrio stabile in x=0. Quando la temperatura arriva appena al di sotto di T* si formano le due nuove buche e il sistema, prima fermo nel punto zero, finisce in una delle due. A questo punto continuando ad abbassare la temperatura il sistema rimarrà sempre nella buca scelta: si tratta di un cambiamento riconoscibile, perché ora il sistema appare ordinato, e rimane tale. Abbiamo compiuto la transizione di fase. Ora la nostra energia V(x) è simmetrica per un cambiamento di segno: se sostituiamo -x a x otteniamo la stessa espressione. Lo stato finale, invece, è simmetrico solo per t>0, ovvero sopra una temperatura critica. È la rottura spontanea della simmetria.

Un modello un poco più interessante si ottiene con un parametro d’ordine complesso (z=x + iy), per cui l’energia V(z) assume la forma in fig. 3 per t>0 e quella del caratteristico cappello messicano (fig. 4) per t<0.

In questo caso, la simmetria che viene rotta è quella di rotazione (il sistema sceglierà un particolare angolo) portandosi così in una situazione in cui, in valore assoluto, abbiamo un parametro d’ordine diverso da zero. Siamo in uno stato più ordinato, ma meno simmetrico.

Fig. 3. Grafico di V(z)=t|z|^2+|z|^4 per t>0
Fig. 3. Grafico di V(z)=t|z|^2+|z|^4 per t<0

Tutto questo non vale solo per l’acqua, ma per molti altri sistemi: una rottura spontanea di simmetria  è alla base della transizione di fase dei ferromagneti (il fatto che il ferro rimanga magnetizzato dopo essere stato sottoposto a un campo magnetico vale solo sotto una certa temperatura) ma anche per fenomeni come la superconduttività o la superfluidità: a temperature bassissime, certi materiali presentano una conduzione elettrica senza resistenza mentre alcuni liquidi perdono ogni viscosità.

In particolare questioni legate alle leggi di conservazione (vedi l’articolo precedente) impediscono che in certe equazioni fondamentali della teoria quantistica dei campi compaia la massa delle particelle. Allora com’è possibile che tutto ciò che ci circonda possieda massa? È una rottura spontanea di simmetria, che si descrive con un modello simile al cappello messicano, e che corrisponde al meccanismo con il quale agisce il bosone di Higgs.

Bibliografia

Lev Davidovič Landau, “On the Theory of Phase Transition”, Zh. Eksp. Theor. Fiz. 7, pp. 19-32, (1937), trad. in “Landau L.D. Collected Papers” (Nauka, Moscow, 1969)

Alexandr Z. Patašinskij, Valerij L. Pokrovskij, “Teoria delle fluttuazioni e delle transizioni di fase”, Ed. MIR-Editori Riuniti, Mosca-Roma, 1989

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